هنري سيجرمان: الانسجام المادي في الرياضيات

2024 مؤلف: Seth Attwood | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-16 15:57

وفقًا للأسطورة ، كان فيثاغورس أول من اكتشف أن خيطين ممتدين بشكل متساوٍ يصدران صوتًا لطيفًا إذا كانت أطوالهما مرتبطة بأعداد صحيحة صغيرة. منذ ذلك الحين ، انبهر الناس بالعلاقة الغامضة بين الجمال والرياضيات ، والتناغم المادي الكامل للأشكال ، والاهتزازات ، والتماثل - والتجريد المثالي للأرقام والعلاقات.

هذا الارتباط سريع الزوال ، لكنه ملموس ؛ فليس عبثًا أن يستخدم الفنانون قوانين الهندسة لسنوات عديدة وهم مستوحون من القوانين الرياضية. وجد هنري سيجرمان صعوبة في التخلي عن مصدر الأفكار هذا: ففي النهاية ، هو عالم رياضيات من حيث المهنة والحرفة.

زجاجة Klein "من خلال لصق حواف شريطين من موبيوس ذهنيًا" ، كما يقول هنري سيجرمان ، "يمكنك الحصول على زجاجة Klein ، التي لها سطح واحد أيضًا. هنا نرى زجاجة كلاين مصنوعة من شرائط موبيوس بحافة مستديرة.

بدلا من ذلك ، كيف يمكن أن تبدو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. نظرًا لأن شرائط Mobius "المستديرة" الأصلية تنتقل إلى ما لا نهاية ، فستستمر زجاجة Klein هذه في اللانهاية مرتين وتتقاطع مع نفسها ، وهو ما يمكن رؤيته في التمثال ". تزين نسخة مكبرة من هذا التمثال قسم الرياضيات والإحصاء بجامعة ملبورن.

فركتلات

يقول هنري: "لقد ولدت في عائلة من العلماء ، وأعتقد أن اهتمامي بأي شيء يتطلب تفكيرًا مكانيًا متقدمًا مرتبط بهذا". اليوم هو بالفعل خريج جامعة أكسفورد ودراسات الدكتوراه في جامعات ستانفورد ، ويشغل منصب أستاذ مشارك في جامعة أوكلاهوما.

لكن مهنة علمية ناجحة ليست سوى جانب واحد من شخصيته متعددة الأوجه: منذ أكثر من 12 عامًا ، بدأ عالم الرياضيات في تنظيم الأحداث الفنية … في العالم الافتراضي لـ Second Life.

كان هذا المحاكي ثلاثي الأبعاد الذي يحتوي على عناصر من شبكة اجتماعية شائعًا للغاية ، مما سمح للمستخدمين ليس فقط بالتواصل مع بعضهم البعض ، ولكن أيضًا لتجهيز "الصور الرمزية" الافتراضية الخاصة بهم ومناطق للترفيه والعمل وما إلى ذلك.

الاسم: هنري سيجرمان

مواليد 1979

التعليم: جامعة ستانفورد

المدينة: ستيلووتر ، الولايات المتحدة الأمريكية

الشعار: "خذ فكرة واحدة فقط ، ولكن أظهرها بأكبر قدر ممكن من الوضوح".

جاء سيجرمان إلى هنا ، مسلحًا بالصيغ والأرقام ، وقام بترتيب عالمه الافتراضي بطريقة رياضية ، ملأه بأشكال كسورية غير مسبوقة ، ولوالب وحتى مصنوعات فسيفساء ، ومكعبات فائقة رباعية الأبعاد. "النتيجة هي إسقاط مكعب مفرط رباعي الأبعاد في الكون ثلاثي الأبعاد لـ Second Life - والذي هو في حد ذاته إسقاط لعالم افتراضي ثلاثي الأبعاد على شاشة مسطحة ثنائية الأبعاد" ، يلاحظ الفنان.

منحنى هيلبرت: خط متصل يملأ مساحة المكعب ، ولا يقطعه أو يتقاطع مع نفسه.

منحنيات هلبرت هي هياكل كسورية ، وإذا قمت بالتكبير ، يمكنك أن ترى أن أجزاء من هذا المنحنى تتبع شكل الكل. يقول سيجرمان: "لقد رأيتهم آلاف المرات في الرسوم التوضيحية ونماذج الكمبيوتر ، لكن عندما التقطت مثل هذا التمثال ثلاثي الأبعاد في يدي ، لاحظت على الفور أنه كان نابضًا أيضًا". "التجسيد المادي للمفاهيم الرياضية يثير الدهشة دائمًا بشيء ما."

ومع ذلك ، فقد أحب العمل مع المنحوتات المادية أكثر من ذلك بكثير. يقول سيجرمان: "هناك كميات هائلة من المعلومات المتداولة حولنا طوال الوقت". - لحسن الحظ ، يتمتع العالم الحقيقي بنطاق ترددي كبير جدًا ، وهو غير متاح بعد على الويب.

امنح الشخص شيئًا مكتملًا ، وشكلًا متكاملًا - وسيدركه على الفور بكل تعقيداته ، دون انتظار التحميل .لذلك منذ عام 2009 ، أنشأ سيجرمان ما يزيد قليلاً عن مائة منحوتة ، وكل منها عبارة عن تجسيد مادي مرئي ، وبقدر الإمكان ، تجسيدًا ماديًا دقيقًا للمفاهيم والقوانين الرياضية المجردة.

متعددات الوجوه

إن تطور تجارب سيجرمان الفنية مع الطباعة ثلاثية الأبعاد يكرر بشكل غريب تطور الأفكار الرياضية. من بين تجاربه الأولى المواد الصلبة الأفلاطونية الكلاسيكية ، وهي مجموعة من خمسة أشكال متناظرة ، مطوية في مثلثات منتظمة وخماسية ومربعات. تبعهم متعدد السطوح شبه منتظم - 13 مادة صلبة أرشميدية ، تتشكل وجوهها من مضلعات منتظمة غير متساوية.

تم إنشاء نموذج ستانفورد رابيت ثلاثي الأبعاد في عام 1994. يتكون من ما يقرب من 70000 مثلثات ، وهو بمثابة اختبار بسيط وشائع لأداء خوارزميات البرامج. على سبيل المثال ، على الأرنب ، يمكنك اختبار كفاءة ضغط البيانات أو تجانس السطح لرسومات الكمبيوتر.

لذلك ، بالنسبة للمتخصصين ، فإن هذا النموذج هو نفس عبارة "تناول المزيد من هذه القوائم الفرنسية الناعمة" لأولئك الذين يحبون اللعب بخطوط الكمبيوتر. تمثال ستانفورد باني هو نفس النموذج ، سطحه مرصوف بأحرف كلمة أرنب.

هذه الأشكال البسيطة بالفعل ، بعد انتقالها من الرسوم التوضيحية ثنائية الأبعاد وعالم الخيال المثالي إلى الواقع ثلاثي الأبعاد ، تثير الإعجاب الداخلي بجمالها المقتضب والكمال. تبدو العلاقة بين الجمال الرياضي وجمال الأعمال الفنية المرئية والصوتية هشة للغاية بالنسبة لي.

بعد كل شيء ، كثير من الناس يدركون تمامًا أحد أشكال هذا الجمال ، ولا يفهمون تمامًا الآخر. يمكن ترجمة الأفكار الرياضية إلى أشكال مرئية أو صوتية ، ولكن ليس كلها ، وليس بالسهولة التي قد تبدو عليها ، يضيف سيجرمان.

سرعان ما اتبعت الأشكال الأكثر تعقيدًا الأشكال الكلاسيكية ، حتى تلك التي لم يخطر ببال أرخميدس أو فيثاغورس - الأشكال المتعددة السطوح المنتظمة التي تملأ مساحة Lobachevsky الزائدية دون فاصل زمني.

لا يمكن تخيل مثل هذه الأشكال ذات الأسماء المذهلة مثل "قرص العسل رباعي السطوح من الدرجة 6" أو "قرص العسل الفسيفسائي السداسي" بدون صورة مرئية في متناول اليد. أو - إحدى التماثيل التي رسمها سيجرمان ، والتي تمثلها في فضاءنا الإقليدي المعتاد ثلاثي الأبعاد.

المواد الصلبة الأفلاطونية: رباعي السطوح ، ثماني السطوح ، وعشروني الوجوه مطوية في مثلثات منتظمة ، بالإضافة إلى مكعب وعشرشري الوجوه يتكون من مربعات على أساس خماسي.

ربطهم أفلاطون نفسه بأربعة عناصر: الجسيمات ثماني السطوح "الملساء" ، في رأيه ، الهواء المطوي ، و "السائل" العشريني الوجوه - الماء ، والمكعبات "الكثيفة" - الأرض ، والحادة و "الشائكة" ثلاثية السطوح - النار. العنصر الخامس ، وهو ثنائي الوجوه ، اعتبره الفيلسوف جزءًا من عالم الأفكار.

يبدأ عمل الفنان بنموذج ثلاثي الأبعاد ، قام ببنائه في حزمة وحيد القرن الاحترافي. بشكل عام ، هذه هي الطريقة التي ينتهي بها الأمر: إنتاج المنحوتات نفسها ، طباعة النموذج على طابعة ثلاثية الأبعاد ،

يطلب Henry ببساطة من خلال Shapeways ، وهو مجتمع كبير عبر الإنترنت من عشاق الطباعة ثلاثية الأبعاد ، ويتلقى شيئًا مكتملًا مصنوعًا من البلاستيك أو مركبات المصفوفة المعدنية القائمة على الصلب والبرونز. يقول: "إنه سهل للغاية". "ما عليك سوى تحميل نموذج إلى الموقع ، والنقر فوق الزر" إضافة إلى عربة التسوق "، وتقديم طلب ، وفي غضون أسبوعين سيتم تسليمه إليك عبر البريد."

الشكل الثامن: تخيل ربط عقدة داخل مادة صلبة ثم إزالتها ؛ يسمى التجويف المتبقي تكملة العقدة. يوضح هذا النموذج إضافة واحدة من أبسط العقد ، الشكل ثمانية.

جمال

في نهاية المطاف ، يأخذنا تطور المنحوتات الرياضية لسيجرمان إلى مجال الطوبولوجيا المعقد والرائع. يدرس هذا الفرع من الرياضيات خصائص وتشوهات الأسطح المسطحة والمساحات ذات الأبعاد المختلفة ، وتعتبر خصائصها الأوسع مهمة بالنسبة لها أكثر من الهندسة الكلاسيكية.

هنا ، يمكن تحويل المكعب بسهولة إلى كرة ، مثل البلاستيسين ، ويمكن لف كوب بمقبض إلى كعكة دون كسر أي شيء مهم فيها - وهو مثال مشهور يتجسد في نكتة سيغرمان الطوبولوجية الأنيقة.

إن tesseract عبارة عن مكعب رباعي الأبعاد: تمامًا كما يمكن الحصول على مربع عن طريق إزاحة جزء عمودي عليه على مسافة مساوية لطوله ، يمكن الحصول على مكعب عن طريق نسخ مربع بالمثل في ثلاثة أبعاد ، وبتحريك مكعب في الرابع ، سوف "نرسم" tesseract أو hypercube. سيكون له 16 رأسًا و 24 وجهًا ، تبدو إسقاطاتها في فضاءنا ثلاثي الأبعاد مثل مكعب ثلاثي الأبعاد منتظم.

"في الرياضيات ، الحس الجمالي مهم للغاية ، علماء الرياضيات يحبون النظريات" الجميلة "، - يجادل الفنان. - من الصعب تحديد ماهية هذا الجمال بالضبط ، كما هو الحال في حالات أخرى. لكن يمكنني القول أن جمال النظرية يكمن في بساطتها ، والتي تسمح لك بفهم شيء ما ، ورؤية بعض الروابط البسيطة التي بدت سابقًا معقدة بشكل لا يصدق.

في قلب الجمال الرياضي يمكن أن يكون البساطة الخالصة والفعالة - والتعجب المدهش بـ "آها!". يمكن أن يكون الجمال العميق للرياضيات شاقًا مثل الخلود الجليدي لقصر ملكة الثلج. ومع ذلك ، فإن كل هذا الانسجام البارد يعكس دائمًا النظام الداخلي وانتظام الكون الذي نعيش فيه. الرياضيات هي مجرد لغة تناسب هذا العالم الأنيق والمعقد بشكل لا لبس فيه.

ومن المفارقات أنه يحتوي على مراسلات وتطبيقات مادية تقريبًا لأي بيان بلغة الصيغ والعلاقات الرياضية. حتى أكثر الإنشاءات تجريدًا و "مصطنعة" ستعثر عاجلاً أم آجلاً على تطبيق في العالم الحقيقي.

نكتة طوبولوجية: من وجهة نظر معينة ، فإن أسطح الدائرة والدونات "متماثلان" ، أو بشكل أدق ، هما متماثلان ، لأنهما قادران على التحول إلى بعضهما البعض دون فواصل أو غراء ، بسبب تشوه تدريجي.

أصبحت الهندسة الإقليدية انعكاسًا للعالم الكلاسيكي الثابت ، وأصبح حساب التفاضل والتكامل مفيدًا للفيزياء النيوتونية. إن مقياس ريماني المذهل ، كما اتضح ، ضروري لوصف كون أينشتاين غير المستقر ، وقد وجدت الفراغات الزائدية متعددة الأبعاد تطبيقًا في نظرية الأوتار.

في هذه المراسلات الغريبة للحسابات المجردة والأرقام مع أسس واقعنا ، ربما يكمن سر الجمال الذي نشعر به بالضرورة وراء كل الحسابات الباردة لعلماء الرياضيات.