ما هي الفركتلات: جمال الرياضيات واللانهاية

2024 مؤلف: Seth Attwood | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-16 15:57

الفركتلات معروفة منذ قرن من الزمان ، وقد تمت دراستها جيدًا ولها تطبيقات عديدة في الحياة. ومع ذلك ، تستند هذه الظاهرة إلى فكرة بسيطة للغاية: يمكن الحصول على العديد من الأشكال ، اللامحدودة في الجمال والتنوع ، من هياكل بسيطة نسبيًا باستخدام عمليتين فقط - النسخ والقياس.

ما هو القاسم المشترك بين الشجرة أو شاطئ البحر أو السحابة أو الأوعية الدموية في أيدينا؟ للوهلة الأولى ، قد يبدو أن كل هذه الأشياء لا تشترك في شيء. ومع ذلك ، في الواقع ، هناك خاصية واحدة للبنية متأصلة في جميع الكائنات المدرجة: فهي متشابهة ذاتيًا. من الفرع ، وكذلك من جذع الشجرة ، توجد فروع أصغر ، منها - حتى أصغر منها ، وما إلى ذلك ، أي أن الفرع يشبه الشجرة بأكملها.

يتم ترتيب الدورة الدموية بطريقة مماثلة: الشرايين تخرج من الشرايين ، ومنهم - أصغر الشعيرات الدموية التي يدخل الأكسجين من خلالها إلى الأعضاء والأنسجة. لنلقِ نظرة على صور الأقمار الصناعية لساحل البحر: سنرى الخلجان وشبه الجزيرة ؛ دعونا نلقي نظرة عليها ، ولكن من منظور طائر: سنرى الخلجان والرؤوس ؛ الآن دعونا نتخيل أننا نقف على الشاطئ وننظر إلى أقدامنا: هناك دائمًا حصى تبرز في الماء أكثر من الباقي.

أي أن الخط الساحلي يظل مشابهًا لنفسه عند التكبير. أطلق عالم الرياضيات الأمريكي بينوا ماندلبروت (على الرغم من نشأته في فرنسا) خاصية كسور الأشياء ، وهذه الأشياء نفسها - الفركتلات (من اللاتينية fractus - مكسورة).

ما هو الفركتل؟

هذا المفهوم ليس له تعريف صارم. لذلك ، فإن كلمة "كسورية" ليست مصطلحًا رياضيًا. نموذجيًا ، الفركتل هو شكل هندسي يفي بواحدة أو أكثر من الخصائص التالية: • له هيكل معقد عند أي تكبير (على عكس ، على سبيل المثال ، خط مستقيم ، أي جزء منه هو أبسط شكل هندسي - أ القطعة المستقيمة). • متماثل (تقريبًا) مع نفسه. • له بعد كسري Hausdorff (كسوري) ، وهو أكبر من البعد الطوبولوجي. • يمكن بناؤها مع الإجراءات العودية.

الهندسة والجبر

كانت دراسة الفركتلات في مطلع القرن التاسع عشر والقرن العشرين عرضية أكثر منها منهجية ، لأن علماء الرياضيات الأوائل درسوا بشكل أساسي الأشياء "الجيدة" التي كانت قابلة للبحث باستخدام الأساليب والنظريات العامة. في عام 1872 ، قام عالم الرياضيات الألماني كارل وييرستراس ببناء مثال على وظيفة مستمرة لا يمكن اشتقاقها في أي مكان. ومع ذلك ، كان بناءه مجرّدًا تمامًا ويصعب إدراكه.

لذلك ، في عام 1904 ، اخترع السويدي هيلج فون كوخ منحنى مستمر ، ليس له أي مماس في أي مكان ، ومن السهل رسمه. اتضح أن لها خصائص كسورية. أحد المتغيرات لهذا المنحنى يسمى "ندفة الثلج كوخ".

تم اختيار أفكار التشابه الذاتي بين الشخصيات من قبل الفرنسي بول بيير ليفي ، المرشد المستقبلي لبينوا ماندلبروت. في عام 1938 ، نشر مقالته "المنحنيات والأسطح المستوية والمكانية ، المكونة من أجزاء مشابهة للكل" ، والتي تصف فركتلاً آخر - منحنى ليفي سي. يمكن أن تُعزى كل هذه الفركتلات المذكورة أعلاه إلى فئة واحدة من الفركتلات البناءة (الهندسية).

فئة أخرى هي الفركتلات الديناميكية (الجبرية) ، والتي تشمل مجموعة ماندلبروت. بدأت الدراسات الأولى في هذا الاتجاه في بداية القرن العشرين وارتبطت بأسماء عالم الرياضيات الفرنسيين غاستون جوليا وبيير فاتو.في عام 1918 ، تم نشر مذكرات جوليا المكونة من مائتي صفحة تقريبًا ، والمخصصة لتكرار الوظائف العقلانية المعقدة ، والتي تم فيها وصف مجموعات جوليا - عائلة كاملة من الفركتلات وثيقة الصلة بمجموعة ماندلبروت. حصل هذا العمل على جائزة الأكاديمية الفرنسية ، لكنه لم يحتوي على رسم إيضاحي واحد ، لذلك كان من المستحيل تقدير جمال الأشياء المكتشفة.

على الرغم من حقيقة أن هذا العمل يمجد جوليا بين علماء الرياضيات في ذلك الوقت ، إلا أنه سرعان ما نسي. لم يتم الانتباه إلى أجهزة الكمبيوتر مرة أخرى إلا بعد نصف قرن: لقد كانوا هم من جعلوا ثروة وجمال عالم الفركتلات مرئيًا.

أبعاد كسورية

كما تعلم ، فإن البعد (عدد القياسات) للشكل الهندسي هو عدد الإحداثيات المطلوبة لتحديد موضع نقطة ملقاة على هذا الشكل.

على سبيل المثال ، يتم تحديد موضع نقطة على منحنى بإحداثيات واحدة ، على سطح (وليس بالضرورة مستو) بإحداثيين ، في فضاء ثلاثي الأبعاد بثلاثة إحداثيات.

من وجهة نظر رياضية أكثر عمومية ، يمكنك تحديد البعد بهذه الطريقة: تؤدي الزيادة في الأبعاد الخطية ، على سبيل المثال ، مرتين ، للكائنات أحادية البعد (من وجهة نظر طوبولوجية) (مقطع) إلى زيادة الحجم (الطول) مرتين ، بالنسبة لثنائي الأبعاد (مربع) ، تؤدي نفس الزيادة في الأبعاد الخطية إلى زيادة الحجم (المساحة) بمقدار 4 مرات ، بالنسبة إلى ثلاثي الأبعاد (مكعب) - بمقدار 8 مرات. أي أن البعد "الحقيقي" (ما يسمى Hausdorff) يمكن حسابه كنسبة لوغاريتم الزيادة في "حجم" كائن ما إلى لوغاريتم الزيادة في حجمه الخطي. أي بالنسبة للمقطع D = السجل (2) / السجل (2) = 1 ، بالنسبة للمستوى D = السجل (4) / السجل (2) = 2 ، بالنسبة للحجم D = السجل (8) / السجل (2)) = 3.

دعونا الآن نحسب أبعاد منحنى كوخ ، حيث يتم تقسيم جزء الوحدة إلى ثلاثة أجزاء متساوية ويتم استبدال الفاصل الزمني الأوسط بمثلث متساوي الأضلاع بدون هذا المقطع. مع زيادة الأبعاد الخطية للجزء الأدنى ثلاث مرات ، يزداد طول منحنى كوخ في السجل (4) / السجل (3) ~ 1 ، 26. أي أن بُعد منحنى كوخ كسري!

العلم والفن

في عام 1982 ، نُشر كتاب ماندلبروت "The Fractal Geometry of Nature" ، حيث جمع المؤلف ونظم جميع المعلومات المتوفرة في ذلك الوقت تقريبًا حول الفركتلات وقدمها بطريقة سهلة ويسهل الوصول إليها. في عرضه ، ركز ماندلبروت بشكل رئيسي ليس على الصيغ المرهقة والتركيبات الرياضية ، ولكن على الحدس الهندسي للقراء. بفضل الرسوم التوضيحية والحكايات التاريخية التي تم إنشاؤها بواسطة الكمبيوتر ، والتي خفف بها المؤلف بمهارة المكون العلمي للدراسة ، أصبح الكتاب من أكثر الكتب مبيعًا ، وأصبحت الفركتلات معروفة لعامة الناس.

يرجع نجاحهم بين غير الرياضيين إلى حد كبير إلى حقيقة أنه بمساعدة الإنشاءات والصيغ البسيطة جدًا التي يمكن لطالب المدرسة الثانوية فهمها ، يتم الحصول على صور ذات تعقيد مذهل وجمال مذهل. عندما أصبحت أجهزة الكمبيوتر الشخصية قوية بما فيه الكفاية ، ظهر حتى اتجاه كامل في الفن - الرسم النمطي هندسي متكرر ، وتقريبا أي مالك كمبيوتر يمكن أن يفعل ذلك. الآن على الإنترنت ، يمكنك بسهولة العثور على العديد من المواقع المخصصة لهذا الموضوع.

الحرب و السلام

كما لوحظ أعلاه ، فإن أحد الكائنات الطبيعية ذات الخصائص الكسورية هو الخط الساحلي. قصة واحدة مثيرة للاهتمام مرتبطة به ، أو بالأحرى ، بمحاولة قياس طولها ، والتي شكلت أساس مقالة ماندلبروت العلمية ، كما تم وصفها في كتابه "الهندسة الكسورية للطبيعة".

هذه تجربة قام بها لويس ريتشاردسون ، عالم رياضيات وفيزيائي وعالم أرصاد جوية موهوب وغريب الأطوار. كان أحد اتجاهات بحثه محاولة إيجاد وصف رياضي لأسباب واحتمالية نشوب نزاع مسلح بين البلدين. من بين المعايير التي أخذها في الاعتبار كان طول الحدود المشتركة بين البلدين المتحاربين.عندما جمع البيانات من أجل التجارب العددية ، وجد أن البيانات الموجودة على الحدود المشتركة بين إسبانيا والبرتغال مختلفة تمامًا في مصادر مختلفة.

دفعه ذلك إلى اكتشاف الآتي: طول حدود الدولة يعتمد على الحاكم الذي نقيسها به. كلما كان المقياس أصغر ، كلما كانت الحدود أطول. هذا يرجع إلى حقيقة أنه مع التكبير الأعلى يصبح من الممكن مراعاة المزيد والمزيد من الانحناءات الساحلية ، والتي تم تجاهلها سابقًا بسبب خشونة القياسات. وإذا تم ، مع كل زيادة في الحجم ، فتح انحناءات الخطوط التي لم يتم حسابها مسبقًا ، ثم اتضح أن طول الحدود لا نهائي! صحيح ، هذا لا يحدث في الواقع - دقة قياساتنا لها حدود محدودة. هذه المفارقة تسمى تأثير ريتشاردسون.

فركتلات بنائية (هندسية)

خوارزمية بناء كسورية بناءة في الحالة العامة هي كما يلي. بادئ ذي بدء ، نحتاج إلى شكلين هندسيين مناسبين ، دعنا نسميهما قاعدة وجزءًا. في المرحلة الأولى ، تم تصوير أساس الفراكتل المستقبلي. ثم يتم استبدال بعض أجزائه بقطعة مأخوذة بمقياس مناسب - وهذا هو التكرار الأول للبناء. بعد ذلك ، يغير الشكل الناتج بعض الأجزاء مرة أخرى إلى أشكال مشابهة للجزء ، وهكذا. إذا واصلنا هذه العملية إلى أجل غير مسمى ، فعندئذ في النهاية نحصل على كسورية.

لنفكر في هذه العملية باستخدام منحنى Koch كمثال. كأساس لمنحنى Koch ، يمكنك أن تأخذ أي منحنى (بالنسبة لـ "Koch snowflake" فهو مثلث). لكننا سنقتصر على أبسط حالة - شريحة. الجزء عبارة عن خط مكسور يظهر في أعلى الشكل. بعد التكرار الأول للخوارزمية ، في هذه الحالة ، سيتزامن المقطع الأولي مع الجزء ، ثم يتم استبدال كل جزء من الأجزاء المكونة لها بخط مكسور ، على غرار جزء ، وما إلى ذلك. يوضح الشكل الخطوات الأربع الأولى من هذه العملية.

في لغة الرياضيات: الفركتلات الديناميكية (الجبرية)

تنشأ الفركتلات من هذا النوع في دراسة الأنظمة الديناميكية غير الخطية (ومن هنا جاءت تسميتها). يمكن وصف سلوك مثل هذا النظام بوظيفة معقدة غير خطية (متعددة الحدود) f (z). خذ نقطة البداية z0 على المستوى المعقد (انظر الشريط الجانبي). الآن ضع في اعتبارك مثل هذا التسلسل اللانهائي للأرقام على المستوى المركب ، كل مما يلي يتم الحصول عليه من المستوى السابق: z0، z1 = f (z0)، z2 = f (z1)، … zn + 1 = f (zn).

اعتمادًا على النقطة الأولية z0 ، يمكن أن يتصرف مثل هذا التسلسل بشكل مختلف: تميل إلى اللانهاية مثل n -> ∞ ؛ تتلاقى إلى نقطة نهاية ما ؛ أخذ دوريًا عددًا من القيم الثابتة ؛ الخيارات الأكثر تعقيدًا ممكنة أيضًا.

ارقام مركبة

العدد المركب هو رقم يتكون من جزأين - حقيقي وخيالي ، أي المجموع الرسمي x + iy (هنا x و y أرقام حقيقية). أنا هو ما يسمى. الوحدة التخيلية ، أي الرقم الذي يحقق المعادلة i ^ 2 = -1. يتم تعريف العمليات الحسابية الأساسية على الأعداد المركبة - الجمع ، الضرب ، القسمة ، الطرح (فقط عملية المقارنة غير محددة). لعرض الأرقام المعقدة ، غالبًا ما يتم استخدام التمثيل الهندسي - على المستوى (يطلق عليه معقدًا) ، يتم وضع الجزء الحقيقي على الإحداثي والجزء التخيلي على الإحداثي ، بينما يتوافق الرقم المركب مع نقطة مع ديكارتية إحداثيات x و y.

وبالتالي ، فإن أي نقطة z من المستوى المعقد لها طابعها الخاص في السلوك أثناء تكرارات الوظيفة f (z) ، ويتم تقسيم المستوى بأكمله إلى أجزاء. في هذه الحالة ، فإن النقاط الواقعة على حدود هذه الأجزاء لها الخاصية التالية: بالنسبة للإزاحة الصغيرة بشكل تعسفي ، تتغير طبيعة سلوكها بشكل حاد (تسمى هذه النقاط نقاط التشعب). لذلك ، اتضح أن مجموعات النقاط ذات نوع معين من السلوك ، بالإضافة إلى مجموعات نقاط التشعب ، غالبًا ما يكون لها خصائص كسورية. هذه هي مجموعات جوليا للوظيفة f (z).

عائلة التنين

من خلال تغيير القاعدة والجزء ، يمكنك الحصول على مجموعة مذهلة من الفركتلات البناءة.

علاوة على ذلك ، يمكن إجراء عمليات مماثلة في مساحة ثلاثية الأبعاد. ومن أمثلة الفركتلات الحجمية إسفنج مينجر وهرم سيربينسكي وغيرها.

يشار إلى عائلة التنين أيضًا بالفركتلات البناءة. في بعض الأحيان يطلق عليهم اسم المكتشفين "تنانين الطريق السريع هارتر" (في شكلهم يشبهون التنانين الصينية). هناك عدة طرق لرسم هذا المنحنى. أبسطها وأكثرها بديهية هو هذا: عليك أن تأخذ شريطًا طويلًا من الورق (كلما كان الورق أرق ، كان ذلك أفضل) ، وقم بطيه إلى النصف. ثم ثنيه مرتين مرة أخرى في نفس اتجاه المرة الأولى.

بعد عدة عمليات تكرار (عادةً بعد خمس أو ست طيات ، يصبح الشريط سميكًا جدًا بحيث لا يمكن ثنيه بدقة أكبر) ، تحتاج إلى فك الشريط للخلف ومحاولة تشكيل زوايا 90 درجة عند الطيات. ثم سيظهر منحنى التنين في الملف الشخصي. بالطبع ، سيكون هذا تقريبيًا فقط ، مثل كل محاولاتنا لتصوير كائنات كسورية. يسمح لك الكمبيوتر بتصوير العديد من الخطوات الأخرى في هذه العملية ، والنتيجة هي شخصية جميلة جدًا.

تم تصميم مجموعة ماندلبروت بطريقة مختلفة قليلاً. ضع في اعتبارك الوظيفة fc (z) = z ^ 2 + c ، حيث c عدد مركب. دعونا نبني تسلسلًا لهذه الوظيفة مع z0 = 0 ، اعتمادًا على المعلمة c ، يمكن أن تتباعد إلى ما لا نهاية أو تظل محدودة. علاوة على ذلك ، فإن جميع قيم c التي يتم تقييد هذا التسلسل لها من مجموعة Mandelbrot. تمت دراستها بالتفصيل من قبل ماندلبروت نفسه وعلماء رياضيات آخرين ، الذين اكتشفوا العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام لهذه المجموعة.

من الواضح أن تعريف مجموعات جوليا وماندلبروت متشابهة مع بعضها البعض. في الواقع ، هاتان المجموعتان مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا. وبالتحديد ، فإن مجموعة Mandelbrot هي جميع قيم المعلمة المعقدة c التي تتصل بها مجموعة جوليا fc (z) (تسمى المجموعة متصلة إذا تعذر تقسيمها إلى جزأين منفصلين ، مع بعض الشروط الإضافية).

صور النمطي هندسي متكرر والحياة

اليوم ، تستخدم نظرية الفركتلات على نطاق واسع في مختلف مجالات النشاط البشري. بالإضافة إلى كائن علمي بحت للبحث واللوحة الكسورية التي سبق ذكرها ، تُستخدم الفركتلات في نظرية المعلومات لضغط البيانات الرسومية (هنا تُستخدم خاصية التشابه الذاتي للفركتلات بشكل أساسي - بعد كل شيء ، من أجل تذكر جزء صغير من رسم وتحويلات يمكنك من خلالها الحصول على بقية الأجزاء ، أقل بكثير من الذاكرة المطلوبة لتخزين الملف بأكمله).

من خلال إضافة اضطرابات عشوائية إلى الصيغ التي تحدد الفركتلات ، يمكن للمرء الحصول على فركتلات عشوائية تنقل بشكل معقول بعض الأشياء الحقيقية - عناصر الإغاثة ، وسطح المسطحات المائية ، وبعض النباتات ، والتي يتم استخدامها بنجاح في الفيزياء والجغرافيا ورسومات الكمبيوتر لتحقيق أكبر تشابه الكائنات المحاكاة مع الحقيقي. في الإلكترونيات ، يتم إنتاج الهوائيات التي لها شكل كسوري. تشغل مساحة صغيرة ، فهي توفر استقبال إشارة عالي الجودة.

يستخدم الاقتصاديون الفركتلات لوصف منحنيات أسعار العملات (خاصية اكتشفها ماندلبروت). هذا يختتم هذه الرحلة الصغيرة إلى عالم الفركتلات الرائع والمتنوع بشكل مذهل.