شكل مسطح أم كروي أم قطعي لكوننا؟

2024 مؤلف: Seth Attwood | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-16 15:57

في رأينا ، الكون لانهائي. نحن نعلم اليوم أن الأرض لها شكل كرة ، لكننا نادرًا ما نفكر في شكل الكون. في الهندسة ، هناك العديد من الأشكال ثلاثية الأبعاد كبديل للفضاء اللامتناهي "المألوف". يشرح المؤلفون الفرق في الشكل الأكثر سهولة.

بالنظر إلى سماء الليل ، يبدو أن الفضاء يستمر إلى الأبد في جميع الاتجاهات. هذه هي الطريقة التي نتخيل بها الكون - لكن ليس حقيقة كونه صحيحًا. بعد كل شيء ، كان هناك وقت اعتقد فيه الجميع أن الأرض كانت مسطحة: انحناء سطح الأرض غير محسوس ، وفكرة أن الأرض مستديرة بدت غير مفهومة.

نحن نعلم اليوم أن الأرض على شكل كرة. لكننا نادرا ما نفكر في شكل الكون. عندما حلت الكرة محل الأرض المسطحة ، تقدم أشكال أخرى ثلاثية الأبعاد بدائل للفضاء اللامتناهي "المألوف".

يمكن طرح سؤالين حول شكل الكون - سؤالان منفصلان ولكن مترابطان. أحدهما يتعلق بالهندسة - حسابات دقيقة للزوايا والمساحات. آخر يتعلق بالطوبولوجيا: كيف تندمج الأجزاء المنفصلة في شكل واحد.

تشير البيانات الكونية إلى أن الجزء المرئي من الكون سلس ومتجانس. تبدو البنية المحلية للفضاء متماثلة تقريبًا في كل نقطة وفي كل اتجاه. تتوافق ثلاثة أشكال هندسية فقط مع هذه الخصائص - مسطحة وكروية وزائدية. دعنا نلقي نظرة على هذه الأشكال بدورها ، بعض الاعتبارات الطوبولوجية والاستنتاجات المستندة إلى البيانات الكونية.

الكون المسطح

في الواقع ، هذه هي هندسة المدرسة. مجموع زوايا المثلث 180 درجة ، ومساحة الدائرة هي 2r. أبسط مثال على شكل مسطح ثلاثي الأبعاد هو الفضاء اللانهائي العادي ، كما يسميه علماء الرياضيات الإقليدية ، ولكن هناك خيارات مسطحة أخرى.

ليس من السهل تخيل هذه الأشكال ، لكن يمكننا ربط حدسنا بالتفكير في بعدين بدلاً من ثلاثة. بالإضافة إلى المستوى الإقليدي المعتاد ، يمكننا إنشاء أشكال مسطحة أخرى بقطع قطعة من المستوى ولصق حوافها. لنفترض أننا قطعنا قطعة مستطيلة من الورق وقمنا بلصق الحواف المقابلة لها بشريط لاصق. إذا قمت بلصق الحافة العلوية بالحافة السفلية ، تحصل على أسطوانة.

يمكنك أيضًا لصق الحافة اليمنى على اليسار - ثم نحصل على كعكة دونات (يطلق علماء الرياضيات على هذا الشكل طارة).

من المحتمل أن تعترض: "هناك شيء ما ليس مسطحًا جدًا". وستكون على حق. كنا نغش قليلاً بشأن الحلقة المسطحة. إذا حاولت حقًا إخراج طارة من قطعة من الورق بهذه الطريقة ، فستواجه بعض الصعوبات. من السهل صنع أسطوانة ، لكنها لن تعمل على لصق نهاياتها: سوف تنهار الورقة على طول الدائرة الداخلية للحلقة ، لكنها لن تكون كافية بالنسبة للدائرة الخارجية. لذلك عليك أن تأخذ نوعًا من المواد المرنة. لكن التمدد يغير الطول والزوايا ، وبالتالي الهندسة بأكملها.

من المستحيل إنشاء طارة مادية سلسة حقيقية من مادة مسطحة داخل فضاء عادي ثلاثي الأبعاد دون تشويه الهندسة. يبقى التكهن بشكل تجريدي حول ما يعنيه العيش داخل طارة مسطحة.

تخيل أنك كائن ثنائي الأبعاد كونه عبارة عن طارة مسطحة. نظرًا لأن شكل هذا الكون يعتمد على ورقة مسطحة ، فإن جميع الحقائق الهندسية التي اعتدنا عليها أن تظل كما هي - على الأقل على نطاق محدود: مجموع زوايا المثلث يصل إلى 180 درجة ، وهكذا. ولكن مع التغيير في الطوبولوجيا العالمية من خلال التشذيب واللصق ، ستتغير الحياة بشكل كبير.

في البداية ، تحتوي الحلقة على خطوط مستقيمة تلتف وتعود إلى نقطة البداية.

على طارة مشوهة ، تبدو منحنية ، لكن بالنسبة لسكان الطارة المسطحة ، تبدو مستقيمة. وبما أن الضوء ينتقل في خط مستقيم ، فعندئذ إذا نظرت مباشرة في أي اتجاه ، فسترى نفسك من الخلف.

يبدو الأمر كما لو ، على الورقة الأصلية ، مر الضوء من خلالك ، وذهب إلى الحافة اليسرى ، ثم ظهر مرة أخرى على اليمين ، كما هو الحال في لعبة فيديو.

إليك طريقة أخرى للتفكير في الأمر: أنت (أو شعاع من الضوء) تعبر أحد الحواف الأربعة وتجد نفسك في غرفة جديدة ، لكنها في الواقع نفس الغرفة ، فقط من وجهة نظر مختلفة. بالتجول في مثل هذا الكون ، ستصادف عددًا لا نهائيًا من نسخ الغرفة الأصلية.

هذا يعني أنك ستأخذ عددًا لا حصر له من النسخ الخاصة بك أينما نظرت. هذا نوع من تأثير المرآة ، فقط هذه النسخ ليست انعكاسات بالضبط.

على الطارة ، كل منها يتوافق مع حلقة واحدة أو أخرى ، والتي على طولها يعود الضوء إليك.

بنفس الطريقة ، نحصل على طارة مسطحة ثلاثية الأبعاد عن طريق لصق الوجوه المقابلة لمكعب أو صندوق آخر. لن نكون قادرين على تصوير هذا الفضاء داخل فضاء عادي لانهائي - فهو ببساطة غير مناسب - لكننا سنكون قادرين على التكهن بشكل مجرّد بالحياة بداخله.

إذا كانت الحياة في طارة ثنائية الأبعاد تشبه مصفوفة ثنائية الأبعاد لا نهاية لها من غرف مستطيلة متطابقة ، فإن الحياة في طارة ثلاثية الأبعاد تشبه مصفوفة ثلاثية الأبعاد لا نهاية لها من الغرف المكعبة المتطابقة. أنت أيضًا سترى عددًا لا حصر له من النسخ الخاصة بك.

الحلقة ثلاثية الأبعاد هي واحدة فقط من عشرة متغيرات للعالم المسطح المحدود. هناك أيضًا عوالم مسطحة لا نهائية - على سبيل المثال ، تناظرية ثلاثية الأبعاد لأسطوانة لانهائية. سيكون لكل من هذه العوالم "غرفة الضحك" الخاصة بها مع "الانعكاسات".

هل يمكن أن يكون كوننا أحد الأشكال المسطحة؟

عندما ننظر إلى الفضاء ، لا نرى عددًا لا حصر له من نسخنا الخاصة. بغض النظر ، فإن التخلص من الأشكال المسطحة ليس بالأمر السهل. أولاً ، لديهم جميعًا نفس الهندسة المحلية مثل الفضاء الإقليدي ، لذلك لن يكون من الممكن تمييزهم بالقياسات المحلية.

لنفترض أنك رأيت نسختك الخاصة ، فهذه الصورة البعيدة تظهر فقط كيف نظرت (أو مجرتك ككل) في الماضي البعيد ، لأن الضوء قد قطع شوطًا طويلاً حتى وصل إليك. ربما نرى نسخنا الخاصة - لكن تغيرت بشكل لا يمكن التعرف عليه. علاوة على ذلك ، توجد نسخ مختلفة على مسافات مختلفة منك ، لذا فهي ليست متشابهة. وإلى جانب ذلك ، بعيدًا جدًا لدرجة أننا ما زلنا لا نرى شيئًا.

للتغلب على هذه الصعوبات ، لا يبحث علماء الفلك عادة عن نسخ لأنفسهم ، ولكن لتكرار السمات في الظاهرة المرئية الأبعد - إشعاع الخلفية الكونية الميكروويف ، هذا من بقايا الانفجار العظيم. في الممارسة العملية ، هذا يعني البحث عن أزواج من الدوائر ذات أنماط متطابقة من النقاط الساخنة والباردة - من المفترض أنها متطابقة ، فقط من جوانب مختلفة.

أجرى علماء الفلك مثل هذا البحث في عام 2015 بفضل تلسكوب بلانك الفضائي. لقد قاموا بتجميع البيانات حول أنواع الدوائر المصادفة التي نتوقع رؤيتها داخل إطار ثلاثي الأبعاد مسطح أو أي شكل آخر مسطح ثلاثي الأبعاد - ما يسمى باللوحة - لكنهم لم يجدوا شيئًا. هذا يعني أننا إذا عشنا في طارة ، فسيبدو أنها كبيرة جدًا بحيث أن أي أجزاء متكررة تقع خارج الكون المرئي.

شكل كروي

نحن على دراية كبيرة بالكرات ثنائية الأبعاد - هذا هو سطح الكرة أو البرتقالة أو الأرض. ولكن ماذا لو كان كوننا كرة ثلاثية الأبعاد؟

من الصعب رسم كرة ثلاثية الأبعاد ، لكن من السهل وصفها بتشبيه بسيط. إذا كانت الكرة ثنائية الأبعاد عبارة عن مجموعة من جميع النقاط على مسافة ثابتة من نقطة مركزية ما في فضاء ثلاثي الأبعاد عادي ، فإن الكرة ثلاثية الأبعاد (أو "الكرة الثلاثية") هي مجموعة من جميع النقاط على مسافة ثابتة من بعض النقطة المركزية في الفضاء رباعي الأبعاد.

تختلف الحياة داخل الكرة الأرضية اختلافًا كبيرًا عن الحياة في الفضاء المسطح. لتصور ذلك ، تخيل أنك كائن ثنائي الأبعاد في كرة ثنائية الأبعاد. الكرة ثنائية الأبعاد هي الكون بأكمله ، لذلك لا يمكنك رؤية الفضاء ثلاثي الأبعاد المحيط بك ولا يمكنك الدخول فيه. في هذا الكون الكروي ، يسافر الضوء في أقصر طريق: في دوائر كبيرة. لكن هذه الدوائر تبدو مباشرة بالنسبة لك.

تخيل الآن أنك ورفيقك ثنائي الأبعاد يتسكعون في القطب الشمالي ، وذهب في نزهة على الأقدام. عند الابتعاد ، في البداية سينخفض تدريجياً في دائرتك البصرية - كما هو الحال في العالم العادي ، وإن لم يكن بالسرعة التي اعتدنا عليها. هذا لأنه مع نمو دائرتك البصرية ، يأخذ صديقك القليل منها.

ولكن بمجرد أن يعبر صديقك خط الاستواء ، يحدث شيء غريب: يبدأ في الزيادة في الحجم ، رغم أنه في الواقع يواصل الابتعاد. هذا لأن النسبة المئوية التي يشغلونها في دائرتك البصرية آخذة في الازدياد.

على بعد ثلاثة أمتار من القطب الجنوبي ، سيبدو صديقك وكأنه يقف على بعد ثلاثة أمتار منك.

بعد الوصول إلى القطب الجنوبي ، سيملأ الأفق المرئي بالكامل بالكامل.

وعندما لا يكون هناك أحد في القطب الجنوبي ، سيكون أفقك البصري أكثر غرابة - إنه أنت. هذا لأن الضوء الذي تنبعث منه سينتشر في جميع أنحاء الكرة حتى يعود.

يؤثر هذا بشكل مباشر على الحياة في عالم ثلاثي الأبعاد. كل نقطة من الكرة الأرضية لها نقيض ، وإذا كان هناك جسم هناك ، فسنراه في السماء بأكملها. إذا لم يكن هناك شيء ، فسنرى أنفسنا في الخلفية - كما لو كان مظهرنا متراكبًا على بالون ، ثم قلبنا من الداخل إلى الخارج ونفخنا في الأفق بأكمله.

ولكن على الرغم من أن الكرة الثلاثية هي النموذج التأسيسي للهندسة الكروية ، إلا أنها بعيدة كل البعد عن الفضاء الوحيد الممكن. نظرًا لأننا قمنا ببناء نماذج مسطحة مختلفة عن طريق قطع ولصق قطع من الفضاء الإقليدي ، يمكننا بناء نماذج كروية عن طريق لصق قطع مناسبة من trisphere. سيكون لكل من هذه الأشكال الملصقة ، مثل الطارة ، تأثير "غرفة الضحك" ، فقط عدد الغرف في الأشكال الكروية سيكون محدودًا.

ماذا لو كان كوننا كروي؟

حتى أكثر الأشخاص نرجسيين منا لا يرون أنفسنا كخلفية بدلاً من سماء الليل. ولكن ، كما في حالة الطارة المسطحة ، فإن حقيقة أننا لا نرى شيئًا لا تعني على الإطلاق أنه غير موجود. يمكن أن تكون حدود الكون الكروي أكبر من حدود العالم المرئي ، والخلفية ببساطة غير مرئية.

ولكن على عكس الطارة ، يمكن اكتشاف الكون الكروي باستخدام القياسات المحلية. تختلف الأشكال الكروية عن الفضاء الإقليدي اللامتناهي ليس فقط في الطوبولوجيا العالمية ، ولكن أيضًا في الهندسة الصغيرة. على سبيل المثال ، نظرًا لأن الخطوط المستقيمة في الهندسة الكروية عبارة عن دوائر كبيرة ، فإن المثلثات الموجودة هناك "ممتلئة الجسم" أكثر من المثلثات الإقليدية ، ومجموع زواياها يتجاوز 180 درجة.

في الأساس ، يعد قياس المثلثات الكونية الطريقة الرئيسية للتحقق من مدى انحناء الكون. لكل بقعة ساخنة أو باردة على الخلفية الكونية الميكروية ، يُعرف قطرها وبعدها عن الأرض ، وتشكل الأضلاع الثلاثة للمثلث. يمكننا قياس الزاوية المكونة من البقعة في سماء الليل - وستكون هذه إحدى زوايا المثلث. يمكننا بعد ذلك التحقق مما إذا كان مجموع أطوال الأضلاع ومجموع الزوايا يتوافق مع الهندسة المستوية أو الكروية أو الزائدية (حيث يكون مجموع زوايا المثلث أقل من 180 درجة).

تفترض معظم هذه الحسابات ، جنبًا إلى جنب مع قياسات الانحناء الأخرى ، أن الكون إما مسطح تمامًا أو قريب جدًا منه. اقترح أحد فريق البحث مؤخرًا أن بعض بيانات 2018 من تلسكوب بلانك الفضائي تتحدث بشكل أكبر لصالح كون كروي ، على الرغم من أن باحثين آخرين جادلوا بأن الأدلة المقدمة يمكن أن تُعزى إلى خطأ إحصائي.

الهندسة الزائدية

على عكس الكرة التي تنغلق على نفسها ، تفتح الهندسة الزائدية أو الفضاء ذي الانحناء السلبي للخارج. هذه هي هندسة القبعة عريضة الحواف والشعاب المرجانية والسرج. النموذج الأساسي للهندسة الزائدية هو الفضاء اللانهائي ، تمامًا مثل الإقليدية المسطحة. ولكن بما أن الشكل الزائدي يتوسع إلى الخارج أسرع بكثير من الشكل المسطح ، فلا توجد طريقة لتلائم حتى المستوى الزائدي ثنائي الأبعاد داخل الفضاء الإقليدي العادي ، إذا كنا لا نريد تشويه هندسته. ولكن هناك صورة مشوهة للمستوى الزائدي المعروف باسم قرص بوانكاريه.

من وجهة نظرنا ، تبدو المثلثات القريبة من الدائرة الحدودية أصغر بكثير من المثلثات القريبة من المركز ، ولكن من وجهة نظر الهندسة الزائدية ، فإن جميع المثلثات متشابهة. إذا حاولنا تصوير هذه المثلثات بنفس الحجم حقًا - ربما باستخدام مادة مرنة وتضخيم كل مثلث بدوره ، والانتقال من المركز إلى الخارج - فإن قرصنا يشبه قبعة عريضة الحواف وينحني أكثر فأكثر. وكلما اقتربت من الحدود ، سيخرج هذا الانحناء عن السيطرة.

في الهندسة الإقليدية العادية ، يتناسب محيط الدائرة طرديًا مع نصف قطرها ، ولكن في الهندسة الزائدية ، تنمو الدائرة أضعافًا مضاعفة بالنسبة إلى نصف القطر. تتشكل كومة من المثلثات بالقرب من حدود القرص الزائدي

بسبب هذه الميزة ، يحب علماء الرياضيات أن يقولوا إنه من السهل أن تضيع في الفراغ الزائدي. إذا ابتعد صديقك عنك في الفضاء الإقليدي العادي ، فسيبدأ في الابتعاد ، ولكن ببطء إلى حد ما ، لأن دائرتك البصرية لا تنمو بهذه السرعة. في الفراغ الزائدي ، تتوسع دائرتك البصرية بشكل كبير ، لذلك سينكمش صديقك قريبًا إلى بقعة صغيرة بلا حدود. لذلك ، إذا لم تكن قد اتبعت طريقه ، فمن غير المرجح أن تجده لاحقًا.

حتى في الهندسة الزائدية ، يكون مجموع زوايا المثلث أقل من 180 درجة - على سبيل المثال ، مجموع زوايا بعض المثلثات من فسيفساء قرص Poincaré هو 165 درجة فقط.

تبدو جوانبها غير مباشرة ، لكن هذا لأننا ننظر إلى الهندسة الزائدية من خلال عدسة مشوهة. بالنسبة لسكان قرص Poincaré ، فإن هذه المنحنيات هي في الواقع خطوط مستقيمة ، لذا فإن أسرع طريقة للانتقال من النقطة A إلى النقطة B (كلاهما عند الحافة) هي من خلال القطع إلى المركز.

هناك طريقة طبيعية لعمل تناظرية ثلاثية الأبعاد لقرص بوانكاريه - خذ كرة ثلاثية الأبعاد واملأها بأشكال ثلاثية الأبعاد ، والتي تتناقص تدريجياً مع اقترابها من الكرة الحدودية ، مثل المثلثات على قرص بوانكاريه. وكما هو الحال مع الطائرات والمجالات ، يمكننا إنشاء مجموعة كاملة من المساحات الزائدية ثلاثية الأبعاد الأخرى عن طريق قطع القطع المناسبة من كرة زائدية ثلاثية الأبعاد ولصق وجوهها.

حسنًا ، هل كوننا زائدي؟

الهندسة الزائدية ، بمثلثاتها الضيقة ودوائرها المتنامية بشكل أسي ، لا تشبه على الإطلاق الفضاء المحيط بنا. في الواقع ، كما أشرنا سابقًا ، تميل معظم القياسات الكونية نحو كون مسطح.

لكن لا يمكننا استبعاد أننا نعيش في عالم كروي أو قطعي ، لأن الأجزاء الصغيرة من كلا العالمين تبدو مسطحة تقريبًا. على سبيل المثال ، مجموع زوايا المثلثات الصغيرة في الهندسة الكروية يزيد قليلاً عن 180 درجة ، وفي الهندسة الزائدية يكون أقل قليلاً فقط.

لهذا السبب اعتقد القدماء أن الأرض كانت مسطحة - انحناء الأرض غير مرئي بالعين المجردة. كلما كان الشكل الكروي أو القطعي أكبر ، كان كل جزء من أجزائه مسطحًا ، وبالتالي ، إذا كان للكون شكل كروي أو زائدي كبير للغاية ، فإن الجزء المرئي يكون قريبًا جدًا من المسطح بحيث لا يمكن اكتشاف انحناءه إلا باستخدام أدوات فائقة الدقة ، ونحن لم نخترعهم بعد …